Verteilung von|X-Y| bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängig und jeweils Bernoulli-verteilt mit Parameter [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] d.h. [mm] P[X=0]=P[X=1]=P[Y=0]=P[Y=1]=\bruch{1}{2}.
[/mm]
(a) Wie ist X+Y verteilt?
(b) Wie ist |X-Y| verteilt?
(c) Sind X+Y und |X-Y| unabhängig? |
Tag Leute,
also ich hab bisher die folgenden Überlegungen angestellt.
zu (a): Es gilt:
[mm] P[X+Y=0]=P[X=0,Y=0]=P[X=0]\cdot{}P[Y=0]=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P[X+Y=1]=P[X=1,Y=0]+P[X=0,Y=1]=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] P[X+Y=2]=P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{4}
[/mm]
zu (b): Es gilt:
[mm] P[|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]+P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] P[|X-Y|=1]=P[X=0,Y=1]+P[X=1,Y=0]=\bruch{1}{2}
[/mm]
zu (c): Die beiden Zufallsvariablen X+Y und |X-Y| sind nicht unabhängig, da z.B. gilt
[mm] P[X+Y=0,|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]=\bruch{1}{4}\not=\bruch{1}{8}=P[X+Y=0]\cdot{}P[|X-Y|=0]
[/mm]
Ist das alles so richtig oder was könnte man noch verbessern??
Besten Dank schon mal!
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Hallo!
> Es seien X und Y unabhängig und jeweils Bernoulli-verteilt
> mit Parameter [mm]\bruch{1}{2},[/mm] d.h.
> [mm]P[X=0]=P[X=1]=P[Y=0]=P[Y=1]=\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> (a) Wie ist X+Y verteilt?
> (b) Wie ist |X-Y| verteilt?
> (c) Sind X+Y und |X-Y| unabhängig?
> Tag Leute,
> also ich hab bisher die folgenden Überlegungen
> angestellt.
>
> zu (a): Es gilt:
> [mm]P[X+Y=0]=P[X=0,Y=0]=P[X=0]\cdot{}P[Y=0]=\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]P[X+Y=1]=P[X=1,Y=0]+P[X=0,Y=1]=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]P[X+Y=2]=P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allgemein gilt: Die Summe von n Bernoulli-verteilten unabhängigen ZVA ist binomialverteilt mit p = 1/2 und n = n.
Du kannst also explizit noch den Namen der Verteilung angeben!
> zu (b): Es gilt:
> [mm]P[|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]+P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]P[|X-Y|=1]=P[X=0,Y=1]+P[X=1,Y=0]=\bruch{1}{2}[/mm]
Name der Verteilung?
> zu (c): Die beiden Zufallsvariablen X+Y und |X-Y| sind
> nicht unabhängig, da z.B. gilt
>
> [mm]P[X+Y=0,|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]=\bruch{1}{4}\not=\bruch{1}{8}=P[X+Y=0]\cdot{}P[|X-Y|=0][/mm]
Alles okay. 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank für den Hinweis mit dem Namen der Verteilung!
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